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标准正态分布线性组合的分布问题

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标准正态分布线性组合的分布问题

步骤一：复述题目

设相互独立的随机变量 X1,X2,⋯ ,XnX_{1},X_{2},\cdots,X_{n} 均服从标准正态分布，记

X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}

则随机变量 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 服从的分布及参数为多少？

步骤二：对 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 进行变形

将 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i} 代入 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 可得：

X1−X‾=X1−1n∑i=1nXi=X1−1nX1−1n∑i=2nXi=n−1nX1−1n∑i=2nXi\begin{align*} X_{1}-\overline{X} &= X_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i} \\ &= X_{1}-\frac{1}{n}X_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_{i} \\ &= \frac{n - 1}{n}X_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_{i} \end{align*}

因为 X1,X2,⋯ ,XnX_{1},X_{2},\cdots,X_{n} 相互独立且均服从标准正态分布，所以 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 是相互独立的正态随机变量的线性组合，根据正态分布的性质，X1−X‾X_{1}-\overline{X} 服从正态分布。

步骤三：计算 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 的期望 E(X1−X‾)E(X_{1}-\overline{X})

根据期望的性质 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)（a,ba,b 为常数），可得：

E(X1−X‾)=E(n−1nX1−1n∑i=2nXi)=n−1nE(X1)−1n∑i=2nE(Xi)\begin{align*} E(X_{1}-\overline{X}) &= E\left(\frac{n - 1}{n}X_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_{i}\right) \\ &= \frac{n - 1}{n}E(X_{1})-\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}E(X_{i}) \end{align*}

已知 XiX_{i} 服从标准正态分布，即 E(Xi)=0E(X_{i}) = 0，i=1,2,⋯ ,ni = 1,2,\cdots,n，所以 E(X1−X‾)=0E(X_{1}-\overline{X}) = 0。

步骤四：计算 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 的方差 D(X1−X‾)D(X_{1}-\overline{X})

根据方差的性质 D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)D(aX + bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)（X,YX,Y 相互独立，a,ba,b 为常数），可得：

D(X1−X‾)=D(n−1nX1−1n∑i=2nXi)=(n−1n)2D(X1)+(1n)2∑i=2nD(Xi)\begin{align*} D(X_{1}-\overline{X}) &= D\left(\frac{n - 1}{n}X_{1}-\frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_{i}\right) \\ &= \left(\frac{n - 1}{n}\right)^{2}D(X_{1})+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}\sum_{i = 2}^{n}D(X_{i}) \end{align*}

已知 XiX_{i} 服从标准正态分布，即 D(Xi)=1D(X_{i}) = 1，i=1,2,⋯ ,ni = 1,2,\cdots,n，则：

D(X1−X‾)=(n−1)2n2×1+1n2×(n−1)×1=(n−1)2+n−1n2=n2−2n+1+n−1n2=n2−nn2=n−1n\begin{align*} D(X_{1}-\overline{X}) &= \frac{(n - 1)^{2}}{n^{2}}\times1+\frac{1}{n^{2}}\times(n - 1)\times1 \\ &= \frac{(n - 1)^{2}+n - 1}{n^{2}} \\ &= \frac{n^{2}-2n + 1 + n - 1}{n^{2}} \\ &= \frac{n^{2}-n}{n^{2}} \\ &= \frac{n - 1}{n} \end{align*}

步骤五：确定 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 服从的分布

结合前面计算得到的期望 E(X1−X‾)=0E(X_{1}-\overline{X}) = 0 和方差 D(X1−X‾)=n−1nD(X_{1}-\overline{X})=\frac{n - 1}{n}，可知 X1−X‾X_{1}-\overline{X} 服从正态分布 N(0,n−1n)N\left(0,\frac{n - 1}{n}\right)。

答案

X1−X‾X_{1}-\overline{X} 服从正态分布

N(0,n−1n)\boxed{N\left(0,\frac{n - 1}{n}\right)}
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