极限保号性的运用

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，且 $f(1)>0$，$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}<0$。证明：

(Ⅰ) 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；

(Ⅱ) 方程 $f(x)f''(x)+[f'(x)]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根。

解答

(Ⅰ) 证明方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根

步骤一：分析 $f(0)$ 的值

• 因为 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}$ 存在，且 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x = 0$，根据极限的运算法则，如果 $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}$ 存在且 $\displaystyle\lim_{x\to a}v(x)=0$，那么 $\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0$。
• 这里 $u(x)=f(x)$，$v(x)=x$，$a = 0^+$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$。
• 又因为函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（因为具有 2 阶导数，可导必连续），所以 $f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=0$。

步骤二：利用极限的保号性

• 已知 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}<0$，根据函数极限的局部保号性：如果 $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=A<0$，则存在 $\delta>0$，当 $x\in(a,a + \delta)$ 时，$g(x)<0$。
• 这里 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$，$a = 0^+$，所以存在 $a\in(0,1)$，当 $x\in(0,a)$ 时，$\frac{f(x)}{x}<0$。
• 因为 $x\in(0,a)$，所以 $x>0$，那么 $f(x)<0$。

步骤三：应用零点存在定理

• 已知 $f(1)>0$，$f(a)<0$，且函数 $f(x)$ 在 $[a,1]$ 上连续。
• 根据零点存在定理：如果 $y = f(x)$ 在区间 $[m,n]$ 上连续，且 $f(m)\cdot f(n)<0$，那么在区间 $(m,n)$ 内至少存在一个 $\xi$，使得 $f(\xi)=0$。
• 这里 $m = a$，$n = 1$，$f(a)\cdot f(1)<0$，所以存在 $b\in(a,1)\subset(0,1)$，使得 $f(b)=0$，即方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根。

(Ⅱ) 证明方程 $f(x)f''(x)+[f'(x)]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根

步骤一：构造辅助函数并分析其性质

• 令 $F(x)=f(x)f'(x)$，因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数，所以 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 都在 $[0,1]$ 上连续且可导，那么 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且

步骤二：应用罗尔定理

• 由 (Ⅰ) 知 $f(0)=f(b)=0$，根据罗尔定理：如果 $y = f(x)$ 在闭区间 $[m,n]$ 上连续，在开区间 $(m,n)$ 内可导，且 $f(m)=f(n)$，那么在 $(m,n)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
• 这里 $m = 0$，$n = b$，所以存在 $c\in(0,b)\subset(0,1)$，使得 $f'(c)=0$。
• 计算 $F(0)$：$F(0)=f(0)f'(0)=0\times f'(0)=0$。
• 计算 $F(c)$：$F(c)=f(c)f'(c)=f(c)\times0 = 0$。
• 计算 $F(b)$：$F(b)=f(b)f'(b)=0\times f'(b)=0$。

步骤三：再次应用罗尔定理

• 因为 $F(0)=F(c)=0$，根据罗尔定理，存在 $\xi\in(0,c)$，使得 $F'(\xi)=0$。
• 又因为 $F(c)=F(b)=0$，根据罗尔定理，存在 $\eta\in(c,b)$，使得 $F'(\eta)=0$。
• 而 $\xi\in(0,c)$，$\eta\in(c,b)\subset(0,1)$，且 $\xi\neq\eta$，所以方程 $f(x)f''(x)+[f'(x)]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根。

最终答案

(Ⅰ) 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根，证明如上；

(Ⅱ) 方程 $f(x)f''(x)+[f'(x)]^{2}=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根，证明如上。