幂级数展开和麦克劳林的关系

题目

已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ，求 $f^{(3)}(0)$ 。

答案

$\boldsymbol{0}$

解析

本题可先将函数 $f(x)$ 展开成幂级数，再根据幂级数的系数与函数导数的关系来求解 $f^{(3)}(0)$ 。

知识点讲解

等比级数求和公式为

\sum_{n = 0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1 - r} \qquad (|r|<1)

当 $a = 1$ ， $r=-x^{2}$ 时，

\frac{1}{1 + x^{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}, \qquad |x|<1

这是一个等比级数，首项为 $1$ ，公比为 $-x^{2}$ 。

函数的幂级数展开式：

f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

这是麦克劳林级数，其中 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 是 $x^{n}$ 的系数。

已知

\frac{1}{1 + x^{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}, \qquad |x|<1

而函数 $f(x)=\frac{1}{1 + x^{2}}$ ，所以

f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}, \qquad |x|<1

根据函数的幂级数展开式

f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

这是麦克劳林级数，其中 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 是 $x^{n}$ 的系数。

在 $f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}$ 中， $x^{3}$ 的系数为 $0$ 。

又因为在麦克劳林级数中 $x^{3}$ 的系数为 $\frac{f^{(3)}(0)}{3!}$ ，所以

\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=0

解得

f^{(3)}(0)=0

综上，答案为 $\boldsymbol{0}$ 。