这里通过分析函数 ( f(x) ) 在 ( x=0 ) 处的左导数和右导数，推导其可导性，具体过程如下：
1. 确定 ( f(0) ) 的值
由函数定义，当 ( x \leq 0 ) 时，( f(x) = x )，因此 [ f(0) = 0 ]
2. 计算左导数 ( f’_{-}(0) )
左导数是当 ( x ) 从左侧趋近于 0 时的导数，此时 ( f(x) = x )，根据导数定义： [ f’{-}(0) = \lim{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} 1 = 1 ]
3. 计算右导数 ( f’_{+}(0) )
右导数是当 ( x ) 从右侧趋近于 0 时的导数，此时 ( f(x) = \frac{1}{n} )（其中 ( \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n} )，( n = 1, 2, \cdots )）。
根据导数定义： [ f’{+}(0) = \lim{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{x} ]
当 ( \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n} ) 时，( f(x) = \frac{1}{n} )，因此： [ 1 \leq \frac{f(x)}{x} < \frac{n+1}{n} ]
由于 ( \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 )，根据夹逼定理，可得： [ f’{+}(0) = \lim{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{x} = 1 ]
4. 判断可导性
因为左导数 ( f’{-}(0) = 1 ) 且右导数 ( f’{+}(0) = 1 )，左右导数存在且相等，所以 ( f(x) ) 在 ( x = 0 ) 处可导。