矩阵定义与方程组通解问题

题目复述

设 3 阶矩阵 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$。

(Ⅰ) 证明 $r(A) = 2$；

(Ⅱ) 设 $\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$，求方程组 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的通解。

解答

(Ⅰ) 证明 $r(A) = 2$

本题涉及矩阵的秩的性质以及特征值的性质。

已知 $\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$，这表明 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关。

根据矩阵的秩的定义，矩阵 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$ 的秩 $r(A) < 3$。

又因为矩阵 $A$ 有 3 个不同的特征值，根据“$n$ 阶矩阵有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵可相似对角化，且秩为 $n$”，但这里 $A$ 是 3 阶矩阵，有 3 个不同的特征值，所以 $A$ 可相似对角化。

由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，所以 $A$ 的行列式 $|A| = 0$，即 $0$ 是 $A$ 的一个特征值。

设 $A$ 的三个不同特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, 0$，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2 \neq 0$。

因为 $A$ 可相似对角化，所以 $A$ 的秩等于其非零特征值的个数，$A$ 有 2 个非零特征值，因此 $r(A) = 2$。

(Ⅱ) 求方程组 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的通解

本题涉及齐次线性方程组基础解系和非齐次线性方程组通解的结构。

步骤一：分析齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系

由 (Ⅰ) 知 $r(A) = 2$，对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax = 0$，其基础解系所含向量个数为 $n - r(A)$，这里 $n = 3$，所以 $Ax = 0$ 的基础解系含有 $3 - 2 = 1$ 个线性无关的解向量。

已知 $\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$，即 $\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{0}$，也就是

所以 $\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ 是 $Ax = 0$ 的一个非零解向量，可作为 $Ax = 0$ 的基础解系。

步骤二：求非齐次方程组 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的一个特解

已知 $\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$，即

所以 $\boldsymbol{\eta}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 是 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的一个特解。

步骤三：写出方程组 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的通解

根据非齐次线性方程组通解的结构：非齐次线性方程组的通解等于其一个特解加上对应的齐次线性方程组的通解。

所以 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的通解为

综上，(Ⅰ) 证明如上；(Ⅱ) 方程组 $Ax = \boldsymbol{\beta}$ 的通解为

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